Une cage chez chacun de tes parents c'est vraiment très bien et pour les voyages aucun souci il prendra l'habitude

Comme tu es chez tes parents, si tu passes beaucoup de temps dans ta chambre tu peux aussi l'installer là. Mais attention il pourrait t'embêter tôt le matin !
Chez ton père, comme il n'y a pas d'animaux, tu pourras aussi le laisser en liberté dans toute ta maison (ou presque), en liberté, avec vous tout au long de la journée. Tu peux même finir par lui supprimer sa cage et le laisser jour et nuit libre dans une ou plusieurs pièces. Il faudra que tout soit sécuriser pour lui par contre (fils etc).
Chez ta mère comme il y a des chiens, faudra quand même faire attention qu'ils ne forcent pas sur la cage surtout pendant vos absences. Une pièce qui ferme serait pas mal au moins pour le début. Tu pourras le laisser en liberté dans cette même pièce comme chez ton père, mais à l'abri des chiens au début et pendant vos absences.
Tu peux aussi ne pas installer de cage et mettre directement un enclos si tu as de la place. Ou commencer avec une cage puis un enclos accolé. Ou juste une cage. Le principal c'est que tout soit sécuriser, qu'il sorte beaucoup dans la maison avec toi et que si tu dois l'enfermer, qu'il ne se retrouve pas dans un tout petit espace. Plus il passe de temps enfermé, plus sa cage/enclos/clapier doit être spacieux.
Enfin, évite de lui offrir toute la maison chez ton père et une toute petite cage chez ta mère par exemple. Si la différence d'espace est trop grande il risque de mal le vivre.